====== Protein NMR spectroscopy ====== ===== Chapter 2 ===== * （2.3）公式中probability density P(t)为什么等于Ψ(t)*(波函数的复共轭)和Ψ(t)(波函数)的乘积？ * 哲炜的理解: {{:nmr:qzw01.jpg?linkonly|}} * Yi的理解：我的观点是这样，波函数的是由物理学家人为定义的，他们从这样定义的波函数出发，“猜测”了一个形式漂亮并且自洽的方程：薛定谔方程，最重要的是，这个方程被证明可以解释大量的实验观测值。关于这个问题，我也找了一个拿了物理博士学位的老同学问，他的理解跟我差不多。但是也有可能我们理解得都不深刻，所以上面这些话你们应该用批判性思维来对待。 * (2.18)公式，在向量空间中定义的函数有什么物理意义，有同学解释这里的1-N指的是不同的能量状态，还有同学认为指的是一个system中不同的properties，目前还没有一个特别一致的解释。 * Yi的理解：我们在核磁里讨论的通常是定态的薛定谔方程，E phi(tau) = H phi(tau)，这是关于能量的微分方程。对能量算符H来说，它对应一系列的eigenvalues。这里的eigenvalues不依赖于基函数的定义（对应线性空间里的概念是它不依赖于正交基矢如何定义，就是说不随坐标轴定义的不同而变化）。回到提问的问题上，1~N个基函数相当于1~N个基矢（注意基矢是随坐标系的定义不同而呈现不同的形式），每个基函数对应一个本征值，相当于某个分立能量状态所对应的能量值，这样的能量状态一共有N个，而且不随坐标轴的定义形式而变化。 * 哲炜的理解:式2.18表述的物理意义可能对应于态的叠加原理，Cn为线性叠加系数，所以这里的N可能是所有态的可能情况，这样可以完整的表述粒子的态。{{:nmr:qzw02.png?linkonly|}}而在定态的薛定谔方程中，粒子不同的态有其特定的能量值，即各个本征值λ，粒子的总能量为式中的E，这里粒子的总能量其实又是各个本征能量按照各自的权重的加和。{{:nmr:qzw03.png?linkonly|}} * 为什么可观测量一定是Hermitian？ * Yi的理解：Hermitian大家知道是共轭对称阵，这样的矩阵有个性质，就是特征值是实数（不知道的话查查线性代数课本）。我没有仔细check过，但反过来应该也成立。而可观测量都是实数，所以自然要求对应的算符矩阵要是Hermitian。 * 为什么对operator进行bra和ket积分的操作就是期望值？ * Yi的理解：bra和ket的运算其实是积分的一种简写。对波函数进行bra*ket的运算在积分号里得到的就是概率密度，如果没有算符（相当于算符是一个单位矩阵），那么得到的是概率密度，其实就对应Q1的问题。对这个概率密度进行积分等于1（在bra/ket表示里积分是通过行向量和列向量的点积来实现的），这是对概率密度的归一化要求，相当于在整个积分空间发现这个粒子的概率是100%。回到求期望值，期望值对应的算符矩阵描述了在积分空间里各个小空间的取值，把它乘以概率密度，再对全空间积分，得到的就是期望值了。再考虑到bra相当于行向量，ket相当于列向量，那么观测值代表的矩阵应该放在中间才能得到一个标量，所以bra*operator*ket这种形式就可以理解了。如果上面说的还是不好理解，可以想象一个一维势阱（0<= x <= 1），那么积分空间就是[0, 1]，粒子在某个位置的特定物理量比如质量是m(x)，概率密度是P(x)，那么质量的观测值就是对m(x)*P(x)在[0, 1]上取积分。对spin而言是没有这样的连续空间的，它的自旋状态是取离散值，积分用点积来替换，其他都是一样的。 * 为什么Cn能表示这个能级的特征，和能量有什么关系，本质是什么，和波函数的正交性有关系吗? * Yi的理解：这里问的Cn应该是某个具体波函数在第n个本征函数上的分量吧。注意，这里Cn并不表示能级（即第n个本征函数对应的本征状态）的特征，而是Cn的模平方代表该体系处在第n个本征状态时的概率。它和波函数的正交性当然有关系，对应于线性代数，就是任一个矢量都可以在某个坐标轴（基矢）上有投影，投影值代表在该基矢上的分量（或者说权重）。这些基矢必须要互相正交，这样计算起来才能方便。 * 如果一个量不可观测，它的期望又是什么？ * Yi的理解：期望值是对大量微观实验测量值的宏观统计结果。如果一个量不可观测，就没有实验测量值，所以你的问题就不成立了。如果一个量不可观测，那么就不存在有效算符（即不存在共轭对称的算符矩阵），所以求期望值的操作就没有意义了。 * 能量操作符和Iz是否可以对易？ * 是可以的。能量算符H=w0*Iz*|m|;因此H*Iz-Iz*H = 0 * 公式2.27中a和b是否是一个确定的数值？ * a和b是归一化的系数，也可以表示alhpa态和beta态的population的大小，当体系确定下来，比如体系处于平衡态，population的大小就确定了，因此a和b也就确定了。 * 公式2.24要求Cij不等于0，应该如何理解？ * 整个公式要等于0成立，如果Cij等于0，我们就没办法判断括号内的是否等于0。 * 从坐标变换的角度来说，相当于是一个左边变换；一个在坐标系x中在坐标轴有投影的矢量，不能存在一个能变换的空间，使得变换后它所有矢量均为0；因此，至少存在一个值j=k，使得Cij不等于0 * Ix和Iy是否可以同时测出来，Iy和Iz呢？ * 我们可以看Ix和Iy是不对易的，因此是无法同时检测的。 * 我们可以看Iy和Iz是不对易的，因此是无法同时检测的。 * 公式2.28中的phi (相角) 是确定的吗？ * 这个角度指示的是相位信息，平衡态下spin也是一直运动，所以这个数值也是变化的。 * 如果AB可以对易，那么AB有相同的特征函数，反之如果两个operator有相同的特征函数，为什么不能对易？是否可以举出一个例子？ * * 如果Iz可以用两个特征函数alpha态[1 ; 0]和beta态[0 ; 1]两个列向量表示，那么Ix和Iy特征函数可以怎么表示？ *